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向量空间：满足运算封闭性的一些向量。 运算封闭性 $\{\begin{array}{l}加法v+w\\ 数乘cv\end{array}\to$线性组合 $cv+dw$封闭 $R^2$中的 subspace：

1. 零向量Z
2. 经过原点的直线L
3. 整个$R^2$

$R^3$中的 subspace：

1. 零向量Z
2. 经过原点的直线L
3. 经过原点的面P
4. 整个$R^3$

• 任意两个子空间的交集仍是向量空间，
• 任意两个子空间的并集不一定是向量空间。

A的列空间

A的列空间由所有列的线性组合构成。

$Ax=b$有解

$⟺$当且仅当b是A的线性组合

$⟺$当且仅当b属于A的列空间

零空间

$Ax=0$ 的 解$x$ 就是零空间。

若$A_{m\times n}$，那么$A$的列空间 in $R^m$，而零空间 in $R^n$ 性质：

• 零向量 in 零空间
• 零空间是向量空间
• 当b是非零向量时，其解空间不是向量空间。

Ax=0

对于$Ax=0$，消元会改变列空间，但是不改变解，也就是不改变零空间。

r(A)：有多少个方程起作用

r(A)=主元个数=主变量$x_{pivot}$=A主列的个数=$A^T$主列的个数=A列空间的维数， n-r(A)=A自由变量$x_{free}$=A自由列的个数=A特解的个数。

性质：自由列的本质是主列的一个线性组合。

消元后，主元所在列是主列，其余列是自由列，通过对$x_{free}$分配数值，令其中一变量为1，其余均为0

如何求解$Ax=0$：

1. 消元
2. $Ux=0$
3. $Rx=0$
   设$Ax=0$的零空间矩阵为N，
   而$R=\left[\begin{array}{cc}{I}_{r\times r}& F_{r\times (n-r)}\\ O& O\end{array}\right]$
   欲使$RN=0$，则
   $N=\left[\begin{array}{c}-F_{r\times (n-r)}\\ I_{(n-r)\times (n-r)}\end{array}\right]$,此时$RN=0$。

Ax=b

$Ax=b$要有解，需满足b in A的列空间，也就是b是A各列的线性组合。

$⟺$若A经行变换，某行为零行，则b经相同的行变换后，对应位置应为0。 $Ax=b$如何求解：

1. $Ax=b$消元后，令自由变量均为0，得到特解$x_p$
2. 解$Ax=0$得到零空间$x_n$
3. $x_p+x_n$即为$Ax=b$的通解

满秩

$A_{m\times n}$

列满秩：r = n < m

$⟹$无自由变量

$⟹$零空间只有零向量 $⟹Ax=0$只有零解 $⟹Ax=b$只有0或1个解（当b是A列向量的线性组合（b in A的列空间）时，有解）

行满秩：r = m < n

$⟹$A消元后，无零行

$⟹Ax=b$必有特解$x_p$ $⟹$有 n-m 个自由变量

满秩矩阵：r = m = n

$⟹$R = I

$⟹Ax=b$有唯一解 $⟹$零空间只有零向量

r与m,n的关系	$r=m=n$	$r=n<m$	$r=m<n$	$r<m,r<n$
R的形式	$R=I$	$R=\left[\begin{array}{c}I\\ O\end{array}\right]$	$R=\left[\begin{array}{cc}I& F\end{array}\right]$	$R=\left[\begin{array}{cc}I& F\\ O& O\end{array}\right]$
$Ax=b$的解的个数	1	0 or 1	$\infty$	0 or $\infty$

结论：矩阵的秩决定方程组解的个数，r包含了除具体计算结果之外的所有信息。

线性相关性

若矩阵A的列向量组为$v_1,v_2,...,v_n$

列向量组是线性无关的$⟺$A的零空间中只有零向量$⟺$n个列均是主列$⟺$r(A) = n 列向量组是线性相关的$⟺$存在非零向量c，使Ac=0$⟺$A的零空间中存在其它向量$⟺$r(A) < n

生成空间

一个列向量组的生成空间：它的列空间覆盖了整个列向量组的列空间。

一个列向量组的基：既要覆盖整个列向量组的空间，又要线性无关。 如果基的向量个数不够，无法覆盖整个空间； 如果基的向量个数太多，会线性相关。 $R^n$的基：n个n维向量组成的矩阵可逆。 维数：基向量的个数。 线性无关：着眼于线性组合不为零 生成：着眼于所有的线性组合 基：一组无关的向量，并生成空间

如何求列空间的基

列空间的维数 = 矩阵的秩

维数+空间中一组线性无关的向量$⟶$基

如何求列空间的基

零空间的维数 = 自由变量的个数 = n-r(A)

矩阵的四个subspaces

$A_{m\times n}$

列空间$C(A)$

列向量是 m 维

$⟹$ in $R^m$ $\dim C(A)=r(A)$ A的主列 就是 C(A)的一组基。 $C(R)\ne C(A)$

零空间$N(A)$

n 维向量，是$Ax=0$的解

$⟹$ in $R^n$ $\dim N(A)=n-r(A)$ Ax=0的特殊解们 就是 N(A)的一组基。

行空间$C(A^T)$

行向量是 n 维

$⟹$ in $R^n$ $\dim C(A^T)=r(A)$ 行最简形R的前r(A)行 就是$C(A^T)$的一组基。

$\because$R的行向量是A行向量线性组合的结果。

$\therefore$R的行向量仍在A行空间中，只是基改变了。

左零空间$N(A^T)$

m 维向量，是$A^{T}x=0$的解

$⟹$ in $R^m$ $\dim N(A^T)=m-r(A)$ $\left[\begin{array}{ccc}{A}_{m\times n}& |& I_{m\times m}\end{array}\right]行变换\left[\begin{array}{ccc}{R}_{m\times n}& |& E_{m\times m}\end{array}\right]$ 即：EA=R E的后m-r(A)行 就是 $N(A^T)$的一组基。

基本子空间	in R?	维数	基
列空间$C(A)$	$R^m$	r(A)	A的主列
零空间$N(A)$	$R^n$	n-r(A)	Ax=0的特殊解们
行空间$C(A^T)$	$R^n$	r(A)	行最简形R的前r(A)行
左零空间$N(A^T)$	$R^m$	m-r(A)	E的后m-r(A)行

Example

for example,

$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 1\\ 1& 1& 2& 1\\ 1& 2& 3& 1\end{array}\right]⟶\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 1\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]=R$

A的列空间

显然，$\dim C(A)=2$，A的主列为1、2，

$\therefore$A列空间的基为$\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ 2\end{array}\right]$。

A的零空间

显然，$\dim N(A)=2$，$Ax=0$的自由变量为$x_3、x_4$。

$\therefore$A零空间的基为$\left[\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$。

A的行空间

显然，$\dim C(A^T)=2$，且$A^T$的基为A或R的前两行，即

$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\\ 0\end{array}\right]$。

A的左零空间

显然，$\dim N(A^T)=1$，

$\left[\begin{array}{ccc}A& |& I\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccccc}1& 2& 3& 1& |& 1& 0& 0\\ 1& 1& 2& 1& |& 0& 1& 0\\ 1& 2& 3& 1& |& 0& 0& 1\end{array}\right]⟶\left[\begin{array}{cccccccc}1& 0& 1& 1& |& -1& 2& 0\\ 0& 1& 1& 0& |& 1& -1& 0\\ 0& 0& 0& 0& |& -1& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}R& |& E\end{array}\right]$ $\therefore N(A^T)$的基为$\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right]$。

small example

设$S=\forall v(v_1,v_2,v_3,v_4)\in R^4$ 满足 $v_1+v_2+v_3+v_4=0$，

显然$S$是一个子空间， 且$S=N(A)$，其中$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\end{array}\right]$.

$\because \dim C(A^T)=r(A)=1$

$\therefore \dim N(A)=n-r(A)=3$，且它的基为$\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

注：1+3=4=n

$\because \dim C(A)=1$

$\therefore C(A)=R^1$

$\because N(A^T)=0$

$\therefore \dim N(A^T)=0$

注：1+0=1=m

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1. Ax的结果b 相当于 A中各列向量的线性组合

2. 零空间满足封闭性

3. R表示行最简形矩阵

4. 将所有特解作为列的矩阵

5. I与F的列可以相间

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